关于y=f(x),给出下列五个命题:①若f(-1+x)=f(1+x),则y=f(x)是周期函数;②若f(1-x)=-f(1+x),则y=f(x)为奇函数;③若函
题型:填空题难度:一般来源:安徽模拟
关于y=f(x),给出下列五个命题: ①若f(-1+x)=f(1+x),则y=f(x)是周期函数; ②若f(1-x)=-f(1+x),则y=f(x)为奇函数; ③若函数y=f(x-1)的图象关于x=1对称,则y=f(x)为偶函数; ④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称; ⑤若f(1-x)=f(1+x),则y=f(x)的图象关于点(1,0)对称. 填写所有正确命题的序号______. |
答案
①若f(-1+x)=f(1+x),则f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期函数,周期为2,故①正确; ②若f(1-x)=-f(1+x),则f(x+1)+f(1-x)=0∴y=f(x)关于点(1,0)对称,故②不正确; ③若函数y=f(x-1)的图象关于x=1对称,则f(x)的图象关于y轴对称,故y=f(x)为偶函数,故③正确; ④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称,设y=f(x)=x,则y=f(1-x)=1-x,y=f(x+1)=x+1,是关于x=0对称;④不正确; ⑤若f(1-x)=f(1+x),则y=f(x)的图象关于x=1对称,故⑤不正确. 故答案为:①③ |
举一反三
试判断定义域为[-1,1]上的函数f(x)为奇函数是f(0)=0的什么条件?并说明理由. |
函数f(x)在R上既是奇函数又是减函数,且当θ∈(0,)时,f(cos2θ+2msinθ)+f(-2m-2)>0恒成立,则实数m的取值范围是______. |
已知a2+b2=2,若a+b≤|x+1|-|x-2|对任意实数a、b恒成立,则x的取值范围是______. |
已知函数f(x)=x2-x,g(x)=lnx-f(x)f"(x) (1)求g(x)的最大值及相应x的值; (2)对任意的正数x,恒有f(x)+f()≥(x+)ln(m2-2m-2),求实数m的最大值. |
已知f(x)是偶函数,当x>0时,其导函数f′(x)<0,则满足f()=f()的所有x之和为______. |
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