已知函数f（x）=ax3+bx+c为R上的奇函数，且当x=1时，有极小值-1；函g(x)=-12x3+32x+t-3t(t∈R，t≠0)（1）求函数f（x）的解

题型：解答题难度：一般来源：宁波模拟

已知函数f（x）=ax³+bx+c为R上的奇函数，且当x=1时，有极小值-1；函g(x)=-

1

2

x3+

3

2

x+t-

3

t

(t∈R，t≠0)
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），求t的取值范围．

答案

（1）由f（-x）=-f（x）得：c=0，
由

f′(1)=3a+b=0 f(1)=a+b=-1

⇒

a= 1 2 b=- 3 2

∴f(x)=

1

2

x3-

3

2

x
经检验在x=1时，f（x）有极小值-1，
∴f(x)=

1

2

x3-

3

2

x
（2）设h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x-t+

3

t

，则h"（x）=3x²-3，
令h"（x）=3x²-3＞0得x＞1或x＜-1，
令h"（x）=3x²-3＜0得-1＜x＜1
所以h（x）在区间[-2，-1]及[1，2]上的增函数，在区间[-1，1]上的减函数，
∴h(x)min=min{h(-2)，h(1)}=h(1)=-2-t+

3

t

使对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），则h(1)=-2-t+

3

t

＞0
解得t＜-3或0＜t＜1∴t∈（-∞，-3）∪（0，1）