设函数,其中常数a>1,f(x)=13x3-(1+a)x2+4ax+24a(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.

设函数,其中常数a>1,f(x)=13x3-(1+a)x2+4ax+24a(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数,其中常数a>1,f(x)=
1
3
x3-(1+a)x2+4ax+24a
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)f"(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)
由a>1知,当x<2时,f"(x)>0,
故f(x)在区间(-∞,2)是增函数;
当2<x<2a时,f"(x)<0,
故f(x)在区间(2,2a)是减函数;
当x>2a时,f"(x)>0,
故f(x)在区间(2a,+∞)是增函数.
综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)是增函数,
在区间(2,2a)是减函数.
(2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.
f(2a)=
1
3
(2a)3-(1+a)(2a)2+4a•2a+24a
=-
4
3
a3+4a2+24a
,f(0)=24a
由假设知





a>1
f(2a)>0
f(0)>0






a>1
-
4
3
a(a+3)(a-6)>0
24a>0.
解得1<a<6
故a的取值范围是(1,6)
举一反三
函数f(x)=xα2-2α-3(常数α∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是单调递减函数,则α的值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足f(2x)=f(
x+1
x+4
)
的所有x之和为(  )
A.-
9
2
B.-
7
2
C.-8D.8
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(px-
p
2
)(x∈R),则f(x)的一个正周期为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x0处连续的定义;
(2)试证明:若f(x)在点x=x0处连续,且f(x0)>0,则存在一个x0的(x0-δ,x0+δ),在这个邻域内,处处有f(x)>0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0)及f(1)的值;
(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若f(2)=2,un=
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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