(本小题满分12分) (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=, 若a≤0,则f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,…(2分) 若a>0,则由f′(x)=0,得x=, 当x∈(0,)时,f′(x)>0, 当x∈(,+∞)时,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)单调递减. 所以当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 当a>0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)单调递减.…(4分) (Ⅱ)f(x)-=, 令g(x)=xlnx-a(x2-1),(x≥1), g′(x)=lnx+1-2ax,令F(x)=g′(x)=lnx+1-2ax, F′(x)=,…(6分) ①或a≤0,F′(x)>0,g′(x)在[1,+∞)递增, g′(x)≥g′(1)=1-2a>0, ∴g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g(1)=0, 从而f(x)-≥0不符合题意.…(8分) ②若0<a<,当x∈(1,),F′(x)>0, ∴g′(x)在(1,)递增, 从而g′(x)>g′(1)=1-2a, ∴g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g(1)=0, 从而f(x)-≥0不符合题意.…(10分) ③若a≥,F′(x)≤0在[1,+∞)恒成立, ∴g′(x)在[1,+∞)递减,g′(x)≤g′(1)=1-2a≤0, 从而g9x)在[1,+∞)递减, ∴g(x)≤g(1)=0,f(x)-≤0, 综上所述,a的取值范围是[,+∞).…(12分) |