已知:函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),f(2)=2,则f(2006)的值为______.
题型:填空题难度:简单来源:不详
已知:函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),f(2)=2,则f(2006)的值为______. |
答案
由g(x)=f(x-1),x∈R,得f(x)=g(x+1). 又f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=g(x-3)=f(x-4) 也即f(x+4)=f(x),x∈R. ∴f(x)为周期函数,其周期T=4. ∴f(2006)=f(4×501+2)=f(2)=2. 故答案为:2. |
举一反三
设α∈{-2,-1,1,2},则使函数y=xα为偶函数的所有α的和为 ______. |
已知a∈R,函数f(x)=x2|x-a|. (Ⅰ) 当a=1时,求使f(x)=x成立的x的集合; (Ⅱ) 判断函数y=f(x)的奇偶性; (Ⅲ)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. |
对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k. (Ⅰ)证明:f(3k)=3f(k); (Ⅱ)求f(3k-1)(k∈N*)的值; (Ⅲ)是否存在p个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在,找出所有的p值,若不存在,请说明理由. |
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4).当x≥2时,f(x)单调递增,如果x1+x2>4,且(x1-2)(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)的值为( ) |
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