已知a∈R,函数f(x)=x2|x-a|.(Ⅰ) 当a=1时,求使f(x)=x成立的x的集合;(Ⅱ) 判断函数y=f(x)的奇偶性;(Ⅲ)当a>2时,求函数y=
题型:解答题难度:一般来源:汕头一模
已知a∈R,函数f(x)=x2|x-a|. (Ⅰ) 当a=1时,求使f(x)=x成立的x的集合; (Ⅱ) 判断函数y=f(x)的奇偶性; (Ⅲ)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. |
答案
(Ⅰ)由题意,当a=1时,f(x)=x2|x-1|, 当x≤1时,由f(x)=x2(1-x)=x,解得x=0; 当x>1时,由f(x)=x2(x-1)=x,解得x=. 综上,所求解集为{0,}. (Ⅱ)可以对a进行如下分类讨论: (1)当a=0时,f(x)=x2|x|=f(-x),x∈R,显然,函数f(x)是偶函数. (2)当a≠0时,令x=±1可得:f(1)=|1-a|,f(-1)=|-1-a|=|1+a| 显然f(1)≠f(-1)≠-f(1), 故函数f(x)是非奇非偶函数. (Ⅲ)设此最小值为m,当a>2时,在区间[1,2]上,f(x)=ax2-x3,f′(x)=2ax-3x2=3x(a-x). (1)若a≥3,在区间(1,2)内f"(x)>0,从而f(x)为区间[1,2]上的增函数, 由此得m=f(1)=a-1. (2)若2<a<3,则1<a<2. 当1<x<a时,f"(x)>0,从而f(x)为区间[1,a]上的增函数; 当a<x<2时,f"(x)<0,从而f(x)为区间[a,2]上的减函数. 因此,当2<a<3时,m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2). 当2<a≤时,4(a-2)≤a-1,故m=f(2)=4(a-2); 当<a<3时,a-1<4(a-2),故m=f(1)=a-1. 综上所述,所求函数的最小值m=. |
举一反三
对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k. (Ⅰ)证明:f(3k)=3f(k); (Ⅱ)求f(3k-1)(k∈N*)的值; (Ⅲ)是否存在p个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在,找出所有的p值,若不存在,请说明理由. |
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4).当x≥2时,f(x)单调递增,如果x1+x2>4,且(x1-2)(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)的值为( ) |
M是具有以下性质的函数f(x)的全体:对于任意s,t>0,都有f(s)>0,f(t)>0,且f(s)+f(t)<f(s+t). (I)试判断函数f1(x)=log2(x+1),f2(x)=2x-1是否属于M? (II)证明:对于任意的x>0,x+m>0(m∈R且m≠0)都有m[f(x+m)-f(x)]>0; (III)证明:对于任意给定的正数s>1,存在正数t,当0<x≤t时,f(x)<s. |
已知向量=(x2,x+1),=(1-x,t),若函数f(x)=•在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围. |
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