设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2-3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
题型：解答题难度：一般来源：湖北
设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2-3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
（I） 求a、b的值，并写出切线l的方程；
（II）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，求实数m的取值范围． |
答案
（I） f"（x）=3x2+4ax+b，g"（x）=2x-3．
由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
故有f（2）=g（2）=0，f"（2）=g"（2）=1．
由此得，解得，
所以a=-2，b=5..切线的方程为x-y-2=0．
（II）由（I）得f（x）=x3-4x2+5x-2，所以f（x）+g（x）=x3-3x2+2x．
依题意，方程x（x2-3x+2-m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，
故x1，x2是x2-3x+2-m=0的两相异实根．
所以△=9-4（2-m）＞0，解得m＞-．
又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，
特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1-1）成立，得m＜0．
由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2-m＞0．故0＜x1＜x2．
对任意的x∈[x1，x2]，x-x2≤0，x-x1≥0，x＞0．
则f（x）+g（x）-mx=x（x-x1）（x-x2）≤0，又f（x1）+g（x1）-mx1=0．
所以f（x）+g（x）-mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．
于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，
综上得：实数m的取值范围是（-，0）． |
举一反三
| 奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+2）=-f（x）成立，且f（1）=8，则f（2008）+f（2009）+f（2010）的值为（ ） |
| 是否存在实数a，使函数f(x)=log2(x+)-a为奇函数，同时使函数g(x)=x(+a)为偶函数，证明你的结论． |
若函数y=f（x）是偶函数，x∈R，在x＜0时，y=f（x）是增函数，对于x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则（ ）| A．f（-x1）＞f（-x2） | B．f（-x1）＜f（-x2） | C．f（-x1）=f（-x2） | D．f（-x1）≥f（-x2） |
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设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．
（1）判断函数f（x）=-x+1和g（x）=2x-1是否是集合M的元素，并说明理由；
（2）设函数f（x）=log2(1-2x)，试求函数f（x）的反函数f-1（x），并证明f-1（x）∈M；
（3）若f（X）=∈M（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围． |
定义在R上的偶函数f（x-2），当x＞-2时，f（x）=ex+1-2（e为自然对数的底数），若存在k∈Z，使方程f（x）=0的实数根x0∈（k-1，k），则k的取值集合是（ ）| A．{0} | B．{-3} | C．{-4，0} | D．{-3，0} |
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