函数f(x)=a-x2|x+1|-1为奇函数的充要条件是（　　）A．0＜a＜1B．0＜a≤1C．a＞1D．a≥1

题型：单选题难度：简单来源：红桥区一模

函数f(x)=

a-x2

|x+1|-1

为奇函数的充要条件是（　　）

A．0＜a＜1

B．0＜a≤1

C．a＞1

D．a≥1

答案

（先看必要性）∵函数f(x)=

a-x2

|x+1|-1

为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴|x+1|-1=x，即x≥-1
而奇函数的定义域关于原点对称
∴函数f（x）的定义域为[-a，0）∪（0，a]⊆[-1，0）∪（0，1]
∴0＜a≤1
（再看充分性）∵0＜a≤1
而a-x²≥0
∴x²≤a≤1
∴-1≤x≤1且x≠0
∴|x+1|-1=x∴f(x)=

a-x2

∴f（x）为奇函数
故选B

举一反三

已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f(x)=tx-

x3（t为常数）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f（x）在[0，2]上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当t≥9时，证明：函数y=f（x）的图象上至少有一个点落在直线y=14上．

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已知函数f （x）为R上的奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，
（1）求证：函数f （x）在（-∞，0）上也是增函数；
（2）如果f （

）=1，解不等式-1＜f （2x+1）≤0．

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已知函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|（x∈R），且f（a²-3a+2）=f（a-1），则满足条件的所有整数a的和是______．

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已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）设n=-4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．．

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已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x，若不等式af（x）+g（2x）≥0对x∈（0，1]恒成立，则实数a的取值范围是______．

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函数f(x)=a-x2|x+1|-1为奇函数的充要条件是（ ）A．0＜a＜1B．0＜a≤1C．a＞1D．a≥1