已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(Ⅱ)设n=-4,且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立,求m
题型:解答题难度:一般来源:黄冈模拟
已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R. (Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)设n=-4,且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围.. |
答案
(I)若m2+n2=0,即m=n=0,则f(x)=x•|x|, ∴f(-x)=-f(x).即f(x)为奇函数.(2分) 若m2+n2≠0,则m、n中至少有一个不为0, 当m≠0.则f(-m)=n,f(m)=n+2m|m|,故f(-m)≠±f(m). 当n≠0时,f(0)=n≠0, ∴f(x)不是奇函数,f(n)=n+|m+n|•n,f(-n)=n-|m-n|n,则f(n)≠f(-n), ∴f(x)不是偶函数. 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上知:当m2+n2=0时,f(x)为奇函数; 当m2+n2≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(5分) (Ⅱ)若x=0时,m∈R,f(x)<0恒成立;(6分) 若x∈(0,1]时,原不等式可变形为|x+m|<.即-x-<m<-x+. ∴只需对x∈(0,1],满足(8分) 对①式,f1(x)=-x+在(0,1]上单调递减, ∴m<f1(1)=3.(10分) 对②式,设f&2(x)=-x-,则f2′(x)=>0.(因为0<x<1) ∴f2(x)在(0,1]上单调递增, ∴m>f2(1)=-5.(12分) 综上所知:m的范围是(-5,3).(13分). |
举一反三
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x,若不等式af(x)+g(2x)≥0对x∈(0,1]恒成立,则实数a的取值范围是______. |
已知周期为2的偶函数f(x)的区间[0,1]上是增函数,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是( )A.f(-6.5)<f(0)<f(-1) | B.f(0)<f(-6.5)<f(-1) | C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) | D.f(-1)<f(0)<f(-6.5) |
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若f(x)=ax2+x+c在[a,b]上是奇函数,则a+b+c=______. |
已知二次函数f(x)=x2+bx+1(b∈R),满足f(-1)=f(3). (1)求b的值; (2)当x>1时,求f(x)的反函数f-1(x); (3)对于(2)中的f-1(x),如果f-1(x)>m(m-)在[,]上恒成立,求实数m的取值范围. |
定义在R上的奇函数f(x)在x∈[0,+∞)时的表达式是x(1-x),则在x∈(-∞,0]时的表达式是( )A.x(1+x) | B.-x(1+x) | C.x(x-1) | D.-x(1-x) |
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