已知二次函数f(x)=x2+bx+1(b∈R),满足f(-1)=f(3).(1)求b的值;(2)当x>1时,求f(x)的反函数f-1(x);(3)对于(2)中的
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已知二次函数f(x)=x2+bx+1(b∈R),满足f(-1)=f(3).(1)求b的值;(2)当x>1时,求f(x)的反函数f-1(x);(3)对于(2)中的
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知二次函数f(x)=x
2
+bx+1(b∈R),满足f(-1)=f(3).
(1)求b的值;
(2)当x>1时,求f(x)的反函数f
-1
(x);
(3)对于(2)中的f
-1
(x),如果
f
-1
(x)>m(m-
x
)
在
[
1
4
,
1
2
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)∵二次函数f(x)=x
2
+bx+1(b∈R),满足f(-1)=f(3),
∴1-b+1=9+3b+1,∴b=-2.
(2)∵f(x)=x
2
-2x
+1=(x-1)
2
,图象关于x=1对称,
∴当x>1时,x-1=
f(x)
,∴f(x)的反函数f
-1
(x)=
x
+1 (x≥0).
(3)由题意知,
x
+1>m(m-
x
)在
[
1
4
,
1
2
]
上恒成立,
即(m+1)
x
>(m+1)(m-1) 在
[
1
4
,
1
2
]
上恒成立,
①当m>-1时,有
x
>m-1 在
[
1
4
,
1
2
]
上恒成立,
∴
1
2
>m-1,即 m<
3
2
,
∴-1<m<
3
2
,
②当m<-1时,有
x
<m-1 在
[
1
4
,
1
2
]
上恒成立,
∴
2
2
<m-1,即 m>1+
2
2
(舍去)
③m=-1时,不满足条件.
综上,实数m的取值范围是-1<m<
3
2
.
举一反三
定义在R上的奇函数f(x)在x∈[0,+∞)时的表达式是x(1-x),则在x∈(-∞,0]时的表达式是( )
A.x(1+x)
B.-x(1+x)
C.x(x-1)
D.-x(1-x)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知定义在(-1,1)上的函数f(x)=x-sinx,若f(a-2)+f(4-a
2
)<0,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.
(
3
,
5
)
C.
(2,
5
)
D.(0,2)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)=af(x),a是不为0的实常数.
(1)若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),求函数y=f(x),x∈[0,1]的值域;
(2)在(1)的条件下,求函数y=f(x),x∈[n,n+1),n∈N的解析式;
(3)若当0<x≤1时,f(x)=3
x
,试研究函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是否可能是单调函数?
若可能,求出a的取值范围;若不可能,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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若存在x
0
∈[0,2],使x
2
+(1-a)x-a+2<0成立,则实数a的取值范围是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
x+a
x
2
+b
是定义在R上的奇函数,其值域为[-
1
4
,
1
4
].
(1)试求a、b的值;
(2)函数y=g(x)(x∈R)满足:①当x∈[0,3)时,g(x)=f(x);②g(x+3)=g(x)lnm(m≠1).
①求函数g(x)在x∈[3,9)上的解析式;
②若函数g(x)在x∈[0,+∞)上的值域是闭区间,试探求m的取值范围,并说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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