已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x,若不等式af(x)+g(2x)≥0对x∈(0,1]恒成立,则实数a的取值范围是___

已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x,若不等式af(x)+g(2x)≥0对x∈(0,1]恒成立,则实数a的取值范围是___

题型:填空题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x,若不等式af(x)+g(2x)≥0对x∈(0,1]恒成立,则实数a的取值范围是______.
答案
∵f(x)为定义在R上的奇函数,g(x)为定义在R上的偶函数
∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)
又∵由f(x)+g(x)=2x,结合f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=2-x
∴f(x)=
1
2
(2x-2-x),g(x)=
1
2
(2x+2-x
不等式af(x)+g(2x)≥0,化简为
a
2
(2x-2 -x)  +
1
2
(2 2x+2-2x)  ≥0

∵0<x<1
∴0<2x<2-2-x<1
因此将上面不等式整理,得:a≥-
22x+2-2x
2x-2-x
=-
(2x-2-x) 2+2
2x-2-x

令t=2x-2-x,则t>0
-
(2x-2-x) 2+2
2x-2-x
=-(t+
2
t
)≤ -2


2

因此,实数a的取值范围是a≥- 2


2

故答案为[-2


2
,+∞)
举一反三
已知周期为2的偶函数f(x)的区间[0,1]上是增函数,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是(  )
A.f(-6.5)<f(0)<f(-1)B.f(0)<f(-6.5)<f(-1)
C.f(-1)<f(-6.5)<f(0)D.f(-1)<f(0)<f(-6.5)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若f(x)=ax2+x+c在[a,b]上是奇函数,则a+b+c=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)=x2+bx+1(b∈R),满足f(-1)=f(3).
(1)求b的值;
(2)当x>1时,求f(x)的反函数f-1(x);
(3)对于(2)中的f-1(x),如果f-1(x)>m(m-


x
)
[
1
4
1
2
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在R上的奇函数f(x)在x∈[0,+∞)时的表达式是x(1-x),则在x∈(-∞,0]时的表达式是(  )
A.x(1+x)B.-x(1+x)C.x(x-1)D.-x(1-x)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知定义在(-1,1)上的函数f(x)=x-sinx,若f(a-2)+f(4-a2)<0,则a的取值范围是(  )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(


3


5
)
C.(2,


5
)
D.(0,2)
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