已知函数f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|(x∈R),且f(a2-3a+2)=f(a-1),则
题型:填空题难度:一般来源:江苏模拟
已知函数f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|(x∈R),且f(a2-3a+2)=f(a-1),则满足条件的所有整数a的和是______. |
答案
∵函数f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|(x∈R), ∴f(-x)=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2011|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2011| =|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|=f(x) 即函数f(x)为偶函数 若f(a2-3a+2)=f(a-1), 则a2-3a+2=a-1,或a2-3a+2=-(a-1) 即a2-4a+3=0,或a2-2a+1=0 解得a=1,或a=3 又∵f(0)=f(1)=f(-1) ∴当a=2时,也满足要求 故满足条件的所有整数a的和是1+2+3=6 故答案为6 |
举一反三
已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R. (Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)设n=-4,且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围.. |
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x,若不等式af(x)+g(2x)≥0对x∈(0,1]恒成立,则实数a的取值范围是______. |
已知周期为2的偶函数f(x)的区间[0,1]上是增函数,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是( )A.f(-6.5)<f(0)<f(-1) | B.f(0)<f(-6.5)<f(-1) | C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) | D.f(-1)<f(0)<f(-6.5) |
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若f(x)=ax2+x+c在[a,b]上是奇函数,则a+b+c=______. |
已知二次函数f(x)=x2+bx+1(b∈R),满足f(-1)=f(3). (1)求b的值; (2)当x>1时,求f(x)的反函数f-1(x); (3)对于(2)中的f-1(x),如果f-1(x)>m(m-)在[,]上恒成立,求实数m的取值范围. |
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