已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,(1)求x∈[-2,0]时,f(x)的表达式;(2
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2, (1)求x∈[-2,0]时,f(x)的表达式; (2)证明f(x)是R上的奇函数. |
答案
(1)因为x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2, 所以x∈[-2,0]时,x+2∈[0,2], 则f(x+2)=2(x+2)-(x+2)2 =-x2-2x,x∈[-2,0] 又f(x+2)=-f(x), 所以f(x)=x2+2x,x∈[-2,0]. (2)证明:由(1)知f(x)=x2+2x,x∈[-2,0], 则f(-x)=x2-2x,x∈[-2,0], 且f(x)=2x-x2,x∈[0,2], 所以f(-x)=-f(x),x∈[-2,2], 即f(x)在[-2,2]上是奇函数. 又f(x+2)=-f(x),x∈R,则f(x)=-f(x-2),x∈R, 所以f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x), 亦即f(x)是以4为周期的函数, 故f(x)是R上的奇函数. |
举一反三
将函数f(x)=cosx-sinx的图象向右平移a(a>0)个单位,所得图象的函数为偶函数,则a的最小值为. |
已知f(x)是奇函数,且对定义域内任意自变量x满足f(1-x)=f(1+x),当x∈(0,1]时,f(x)=ex,则当x∈[-1,0)时,f(x)=______,当x∈(4k,4k+1],k∈N*时,f(x)=______. |
函数y=的定义域为R,则k的取值范围是______. |
已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈[-2,0)时,f(x)=tx-x3(t为常数). (1)求函数f(x)的解析式; (2)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值,及取得最小值时的x,并猜想f(x)在[0,2]上的单调递增区间(不必证明); (3)当t≥9时,证明:函数y=f(x)的图象上至少有一个点落在直线y=14上. |
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