已知函数f(x)=mx2+23x+n是奇函数，且f(2)=53．（Ⅰ）求实数m和n的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并加以证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

mx2+2

3x+n

是奇函数，且f(2)=

5

3

．
（Ⅰ）求实数m和n的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并加以证明．

答案

（Ⅰ）∵函数f(x)=

mx2+2

3x+n

是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴

mx2+2

-3x+n

=-

mx2+2

3x+n

=

mx2+2

-3x-n

∴n=0
∵f(2)=

5

3

．
∴

4m+2

6

=

5

3

∴m=2
（II）函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数
证明：任取x1 ＜x2＜-1，f(x1) -f(x2) =

2

3

(x1+

1

x1

)-

2

3

(x2+

1

x2

)=

2

3

(x1-x2) (x1x2-1)

x1x2

∵x₁＜x₂＜-1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数