已知f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)(a>0,a≠1,t∈R).(1)当t=5时,求函数g(x)图象过的定点;(2)当t=4,x∈[1

已知f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)(a>0,a≠1,t∈R).(1)当t=5时,求函数g(x)图象过的定点;(2)当t=4,x∈[1

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)(a>0,a≠1,t∈R).
(1)当t=5时,求函数g(x)图象过的定点;
(2)当t=4,x∈[1,2],且F(x)=g(x)-f(x)有最小值2时,求a的值;
(3)当0<a<1,x∈[1,2]时,有f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.
答案
(本小题满分10分)
(1)当t=5时,g(x)=2loga(2x+3)(a>0,a≠1,t∈R),
∴g(x)图象必过定点(-1,0).…(1分)
(2)当t=4时,F(x)=g(x)-f(x)=2loga(2x+2)-logax=loga
(2x+2)2
x
=loga[4(x+
1
x
)+8]

当x∈[1,2]时,4(x+
1
x
)+8
∈[16,18],
若a>1,则F(x)min=loga16=2,解得a=4或a=-4(舍去);
若0<a<1,则F(x)min=loga18=2,解得a=3


2
(舍去).故a=4.…(5分)
(3)转化为二次函数在某区间上最值问题.由题意知,
1
2
logax≥loga(2x+t-2)
在x∈[1,2]时恒成立,
∵0<a<1,∴


x
≤2x+t-2
在x∈[1,2]时恒成立,…(7分)
t≥-2x+


x
+2=-2(


x
-
1
4
)2+
17
8
在x∈[1,2]时恒成立,∴t≥1.
故实数t的取值范围[1,+∞).     …(10分)
举一反三
若偶函数f(x)在x∈[0,+∞)上的表达式为f(x)=x(1-x),则x∈(-∞,0]时,f(x)=(  )
A.-x(1-x)B.x(1-x)C.-x(1+x)D.x(1+x)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=x-
1
x
的图象关于(  )
A.y轴对称B.y=x对称C.x轴对称D.原点对称
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是(  )
A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数
C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若函数f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3是偶函数,则f(x)的增区间是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
ax-1
ax+1
,其中a>0且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并加以证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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