定义在R上的函数,对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x22)≥12[f(x1)+f(x2)],则称函数f(x)是R上的凸函数.已知二次函数f(x)=ax2+x
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定义在R上的函数,对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x22)≥12[f(x1)+f(x2)],则称函数f(x)是R上的凸函数.已知二次函数f(x)=ax2+x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
定义在R上的函数,对任意x
1
,x
2
∈R,都有
f(
x
1
+
x
2
2
)≥
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]
,则称函数f(x)是R上的凸函数.已知二次函数f(x)=ax
2
+x(a∈R,a≠0).
(1)求证:当a<0时,函数f(x)是凸函数;
(2)对任意x∈(0,1],f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)证明:
f(
x
1
+
x
2
2
)-
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]
=
a(
x
1
+
x
2
2
)
2
+
x
1
+
x
2
2
-
1
2
(a
x
21
+
x
1
+a
x
22
+
x
2
)
=
-a(
x
1
-
x
2
2
)
2
,
又a<0,故
f(
x
1
+
x
2
2
)≥
1
2
[f(
x
1
)+f(
x
2
)]
,
所以当a<0时,函数f(x)是凸函数,命题得证.----------(5分)
(2)∵对任意x∈(0,1],f(x)≥-1恒成立.
∴
a≥-(
1
x
)
2
-
1
x
在(0,1]上恒成立,
即
a≥[-
(
1
x
)
2
-
1
x
]
max
=2则a≥-2,------(8分)
又a≠0,故a≥-2且a≠0.----------(10分)
举一反三
已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(2)=6,g(3)=4
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性.
题型:解答题
难度:一般
|
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二次函数f(x)=ax
2
+bx+c(a,b∈R,a≠0)满足条件:
①当x∈R时,f(x)的图象关于直线x=-1对称;②f(1)=1;③f(x)在R上的最小值为0;
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且在[0,2]上单调递减,若f(m)+f(2m-1)<0,则m的取值范围是( )
A.
[-1,
1
3
)
B.
(
1
3
,
3
2
]
C.
(
1
3
,+∞)
D.
(-∞,
1
3
)
题型:单选题
难度:简单
|
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定义在[-2,2]上的奇函数g(x),在[0,2]上单调递减.若g(1-m)-g(m)<0,则实数m的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1-x);当x<0时,f(x)等于( )
A.-x(1+x)
B.x(1+x)
C.x(1-x)
D.-x(1-x)
题型:单选题
难度:一般
|
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