已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x,x∈[π4,π2].(Ⅰ)求f(x)的最大值和最小值;(Ⅱ)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[π4,π
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已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x,x∈[π4,π2].(Ⅰ)求f(x)的最大值和最小值;(Ⅱ)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[π4,π
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=2si
n
2
(
π
4
+x)-
3
cos2x
,
x∈[
π
4
,
π
2
]
.
(Ⅰ)求f(x)的最大值和最小值;
(Ⅱ)若不等式|f(x)-m|<2在
x∈[
π
4
,
π
2
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=[1-cos(
π
2
+2x)]-
3
cos2x
=1+sin2x-
3
cos2x
=1+2sin(2x-
π
3
) …(3分)
又∵x∈[
π
4
,
π
2
],
∴
π
6
≤2x-
π
3
≤
2π
3
,,即2≤1+2sin(2x-
π
3
)≤3,
∴f(x)
max
=3,f(x)
min
=2.…(7分)
(Ⅱ)∵|f(x)-m|<2⇔f(x)-2<m<f(x)+2,
∵x∈[
π
4
,
π
2
],…(9分)
由(1)可知,f(x)
max
=3,f(x)
min
=2,
∴m>f(x)
max
-2=1且m<f(x)
min
+2=4,
∴1<m<4,即m的取值范围是(1,4).…(14分)
举一反三
已知奇函数f(x)的导函数为f′(x)=5+cosx,x∈(-1,1),且f(0)=0,如果f(1-x)+f(1-x
2
)<0,则实数x的取值范围为( )
A.(0,1)
B.
(1
,
2
)
C.
(-2
,
-
2
)
D.
(1
,
2
)
∪
(-
2
,
-1)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)的导函数为g(x),若对任意实数x,都有g(x)+g(-x)=0则f(θ)等于( )
A.1
B.-1
C.0
D.1或-1,
题型:单选题
难度:一般
|
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已知f(x)是偶函数,则函数f(x+2)的图象的对称轴方程是( )
A.直线x=0
B.直线x=-1
C.直线x=-2
D.直线x=2
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=
x
2
+c
ax+b
为奇函数,f(1)<f(3),
且不等式0≤f(x)≤
3
2
的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}.
(1)求a,b,c的值;
(2)是否存在实数m使不等式f(-2+sinθ)<-m
2
+
3
2
对一切θ∈R成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且f(
1
2
)>0>f(-
3
),则方程f(x)=0的根的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:单选题
难度:简单
|
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