设f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数且在(-∞,0)上为增函数.(1)若m•n<0,m+n≤0,求证:f(m)+f(n)≤0;(2)若f(1
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数且在(-∞,0)上为增函数. (1)若m•n<0,m+n≤0,求证:f(m)+f(n)≤0; (2)若f(1)=0,解关于x的不等式f(x2-2x-2)>0. |
答案
(1)证明∵m•n<0,m+n≤0,∴m、n一正一负. 不妨设m>0,n<0,则n≤-m<0.取n=-m<0, ∵函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,则f(n)=f(-m);取n<-m<0,同理 f(n)<f(-m)∴f(n)≤f(-m).又函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数, ∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0. (2)解∵f(1)=0,f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,∴f(-1)=0, ∴原不等式可化为或 | x2-2x-2<0 | f(x2-2x-2)>f(-1) |
| | . 易证:f(x)在(0,+∞)上为增函数. ∴或.∴x2-2x-3>0或. 解得x>3或x<-1或.∴不等式的解集为 (-∞,-1)∪(1-,1-)∪(1+,1+)∪(3,+∞). |
举一反三
已知函数f(x)=. (1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明; (2)判断f(x)的单调性,并加以证明; (3)解不等式f(x)>. |
已知函数f(x)在定义域(-∞,1]上是减函数,问是否存在实数k,使不等式f(k-sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x恒成立?并说明理由. |
已知函数y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则( )A.f(0)<f(-1)<f(2) | B.f(-1)<f(0)<f(2) | C.f(-1)<f(2)<f(0) | D.f(2)<f(-1)<f(0) |
|
若f(x)=asinx+3cosx是偶函数,则实数a=______. |
定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤k(x1-x2|成立,则称函数f(x)在定义域D上满足利普希茨条件.对于函数f(x)=(x≥1)满足利普希茨条件,则常数k的最小值应是( ) |
最新试题
热门考点