已知函数f(x)满足:f(1)=14,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)=______.

已知函数f(x)满足:f(1)=14,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)=______.

题型:填空题难度:简单来源:重庆
已知函数f(x)满足:f(1)=
1
4
,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)=______.
答案
取x=1,y=0得f(0)=
1
2

法一:根据已知知f(1)=
1
4

取x=1,y=1得f(2)=-(
1
4

取x=2,y=1得f(3)=-(
1
2

取x=2,y=2得f(4)=-(
1
4

取x=3,y=2得f(5)=-(
7
16

取x=3,y=3得f(6)=(
1
2

猜想得周期为6
法二:取x=1,y=0得f(0)=
1
2

取x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),
同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)=-f(n-1)
所以f(n)=-f(n+3)=f(n+6)
所以函数是周期函数,周期T=6,
故f(2010)=f(0)=
1
2
举一反三
定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下面是关于f(x)的判断:
①f(x)关于点P(
1
2
,0)
对称
②f(x)的图象关于直线x=1对称;
③在[0,1]上是增函数;
④f(2)=f(0).
其中正确的判断是______.(把你认为正确的判断都填上)
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对于任意实数a(a≠0)和b及m∈[1,2],不等式|a+b|+|a-b|≥|a|•(m2-km+1)恒成立,则实数k的取值范围为______.
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函数f(x)=(x-1)(log3a)2-6(log3a)x+5x+7在区间[0,1]上的函数值恒为正实数,则a的取值范围是______.
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定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(
1
2
)=0,则满足f(log
1
4
x
)<0的集合为______.
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已知函数g(x)=
4x-n
2x
是奇函数,f(x)=log4(4x+1)+mx是偶函数.
(1)求m+n的值;
(2)设h(x)=f(x)+
1
2
x
,若g(x)>h[log4(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
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