对于函数f(x)=a x2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数 x0,使f( x0)=x0成立,则称 x0为f(x)的不动点(1)当a=2,b=-2时,
题型:解答题难度:一般来源:不详
对于函数f(x)=a x2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数 x0,使f( x0)=x0成立,则称 x0为f(x)的不动点 (1)当a=2,b=-2时,求f(x)的不动点; (2)若对于任何实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围; (3)在(2)的条件下判断直线L:y=ax+1与圆(x-2)2+(y+2)2=4 a2+4的位置关系. |
答案
(1)f(x)=a x2+(b+1)x+b-2(a≠0), 当a=2,b=-2时,f(x)=2 x2-x-4, 设x为其不动点,即2 x2-x-4=x 则2 x2-2x-4=0,解得 x1=-1,x2=2 即f(x)的不动点为-1,2…..(4分) (2)由f(x)=x得a x2+bx+b-2=0 关于x的方程有相异实根,则 b2-4a(b-2)>0,即 b2-4ab+8a>0 又对所有的b∈R,b2-4ab+8a>0恒成立 故有(4a)2-4•8a<0,得0<a<2….(10分) (3)由圆的方程得圆心M(2,-2),半径r=2 M到直线y=ax+1的距离d= 比较d与r的大小:r-d=2-==…..(9分) 当a∈(0,)时,r<d,直线与圆相离; 当a=时,r=d,直线与圆相切; 当a∈(,2)时,r>d,直线与圆相交(16分). |
举一反三
已知函数f(x)=x2+|x-a|+1(x∈R)为偶函数 (1)求a的值 (2)若x∈(0,+∞)时总有f(x)-(1-m)x2>0成立,求m的取值范围. |
已知函数f(x)=(其中p为常数,x∈[-2,2])为偶函数. (1)求p的值; (2)用定义证明函数f(x)在(0,2)上是单调减函数; (3)如果f(1-m)<f(2m),求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)=下列叙述: ①f(x)是奇函数; ②y=xf(x)为奇函数; ③(x+1)f(x)<3的解为-2<x<2; ④xf(x+1)<0的解为-1<x<1. 其中正确的是 ______.(填序号) |
已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且x>0时,f(x)=2x,函数y=f(x)的解析式为 ______. |
设奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,若f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集是______. |
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