已知函数f(x)=x2+|x-a|+1(x∈R)为偶函数(1)求a的值(2)若x∈(0,+∞)时总有f(x)-(1-m)x2>0成立,求m的取值范围.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2+|x-a|+1(x∈R)为偶函数 (1)求a的值 (2)若x∈(0,+∞)时总有f(x)-(1-m)x2>0成立,求m的取值范围. |
答案
(1)法一:因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x)对x∈R恒成立, 即有x2+|x-a|+1=x2+|x+a|+1,化为|x-a|=|x+a|对任意实数x恒成立, 平方得(x-a)2=(x+a)2,即4ax=0,所以a=0.(5分) (若直接由|x-a|=|x+a|得a=0扣2分) 法二:由f(1)=f(-1)得|1-a|=|1+a|,得a=0.(3分) 此时f(x)=x2+|x|+1,满足f(-x)=f(x), 所以a=0时,f(x)为偶函数.(5分) (2)不等式即为x2+|x|+1-(1-m)x2>0, 即不等式mx2+x+1>0在x∈(0,+∞)上恒成立. 设g(x)=mx2+x+1,x∈(0,+∞). ①当m=0时,g(x)=x+1>0在(0,+∞)上恒成立;(7分) ②当m<0时,抛物线开口向下,不等式不可能恒成立;(10分) ③当m>0时,对称轴x=-<0, 又因为g(0)=1>0,所以不等式恒成立.(14分) 综上得m≥0.(15分) |
举一反三
已知函数f(x)=(其中p为常数,x∈[-2,2])为偶函数. (1)求p的值; (2)用定义证明函数f(x)在(0,2)上是单调减函数; (3)如果f(1-m)<f(2m),求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)=下列叙述: ①f(x)是奇函数; ②y=xf(x)为奇函数; ③(x+1)f(x)<3的解为-2<x<2; ④xf(x+1)<0的解为-1<x<1. 其中正确的是 ______.(填序号) |
已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且x>0时,f(x)=2x,函数y=f(x)的解析式为 ______. |
设奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,若f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集是______. |
若函数f(x)对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y), (1)试判断f(x)的奇偶性; (2)若f(-3)=a,用a表示f(12). |
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