已知函数f(x)=1-22x+1,(1)证明函数f(x)的奇偶性;(2)利用函数单调性的定义证明:f(x)是其定义域上的增函数.
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已知函数f(x)=1-22x+1,(1)证明函数f(x)的奇偶性;(2)利用函数单调性的定义证明:f(x)是其定义域上的增函数.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=1-
2
2
x
+1
,
(1)证明函数f(x)的奇偶性;
(2)利用函数单调性的定义证明:f(x)是其定义域上的增函数.
答案
(1)∵2
x
+1≠0,
∴f(x)的定义域为R,关于原点对称. …(2分)
又∵
f(-x)=1-
2
2
-x
+1
=1-
2.2
x
1+
2
x
=
1-
2
x
2
x
+1
=-1+
2
2
x
+1
=-f(x)
∴f(x)为奇函数
(2)∵
f(x)=1-
2
2
x
+1
从R上任取x
1
、x
2
,设x
1
<x
2
,
则△x=x
2
-x
1
….(6分)
则
△y=f(
x
1
)-f(
x
2
)=(1-
2
2
x
1
+1
)-(1-
2
2
x
2
+1
)
=
2(
1
2
x
2
+1
-
1
2
x
1
+1
)
=
2(
2
x
1
-
2
x
2
)
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
…(10分)
∵
x
1
<
x
2
∴
2
x
1
<
2
x
2
,
∴
2
x
1
-
2
x
2
<0
,又
2
x
1
+1>0,
2
x
2
+1>0
,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,
∴f(x
1
)<f(x
2
)…(11分)
∴f(x)在其定义域R上是增函数 …(12分)
举一反三
若函数
y=
(
a
2
-1)
x
2
+(a-1)x+
2
a+1
的定义域为R,则a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=x+
4
x
,且当x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m,则m-n的最小值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数在(0,1)上增,若f(a-2)-f(4-a
2
)<0,则a的取值范围为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)=10
x
,则x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数f(x)=
2
x
, -2≤x<0
g(x)-
log
5
(x+
5+
x
2
) , 0<x≤2
,若f(x)为奇函数,则当0<x≤2时,g(x)的最大值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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