已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1）且在区间[0，1]上单调递增，那么，下列关于此函数f（x）性质的表述：①函数y=f（x）的图
题型：填空题难度：一般来源：不详
已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1）且在区间[0，1]上单调递增，那么，下列关于此函数f（x）性质的表述：
①函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
②函数y=f（x）是周期函数；
③当x∈[-3，-2]时，f′（x）≥0； ④函数y=f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点．
其中正确表述的番号是______． |
答案
令x=-1，则f（-1+2）=f（-1）+f（1），又f（-1）=f（1）
∴f（1）=2f（1），∴f（1）=0
∴f（x+2）=f（x）
∴函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为2，②正确；
再将上式中的x替换为x-1，得f（x+1）=f（x-1）=f（1-x）
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，①正确；
∵函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴函数f（x）在区间[-1，0]上单调递减，
又函数的周期为2，∴函数f（x）在区间[-3，-2]上单调递减，此时f′（x）≤0，③错误；
∵函数f（x）在一个周期[-1，1]上有且只有一个零点x=0，且函数周期为2，∴x=0+2k，k∈Z均为函数的零点，④正确
故答案为①②④ |
举一反三
已知f（x）=(ax-a-x)，（a＞0且a≠1）
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围． |
| 已知对于任意非零实数m，不等式|5m-3|+|3-4m|≥|m|（x-）恒成立，则实数x的取值范围是______． |
| 已知定义域为（-2，2）的奇函数y=f（x）是增函数，且f（a-3）+f（9-2a）＞0，求a的取值范围． |
下列四个命题中
①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件；
③函数y=的最小值为2
其中假命题的为______（将你认为是假命题的序号都填上） |
| 已知函数f（x）=（a∈R），若对于任意的X∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是______． |
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