已知函数f(x)=2x+1(x∈R).(1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)-2h(x),求
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2x+1(x∈R). (1)若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和,设h(x)=t,p(t)=g(2x)-2h(x),求p(t)的解析式; (2)若p(t)≥m2-2m对于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范围. |
答案
(1)假设f(x)=g(x)+h(x)①,其中g(x)偶函数,h(x)为奇函数, 则有f(-x)=g(-x)+h(-x),即f(-x)=g(x)-h(x)②, 由①②解得g(x)=[f(x)+f(-x)],h(x)=[f(x)-f(-x)], ∵f(x)定义在R上,∴g(x),h(x)都定义在R上. ∵g(-x)=[f(-x)+f(x)]=g(x),h(-x)=12[f(-x)-f(x)]=-h(x). ∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数, ∵f(x)=2x+1, ∴g(x)=[f(x)+f(-x)]=(2x+1+2-x+1)=2x+2-x, h(x)=[f(x)-f(-x)]=(2x+1-2-x+1)=2x-2-x. 由2x-2-x=t,则t∈R, 平方得t2=(2x-2-x)2=22x-2-2x-2, ∴g(2x)=22x+2-2x=t2+2, ∴p(t)=t2-2t+2. (2)∵t=h(x)关于x∈[1,2]单调递增, ∴≤t≤. ∴p(t)=t2-2t+2≥m2-2m对于t∈[,]恒成立, ∴m2-2m≤(t-1)2+1对于t∈[,]成立, 令φ(t)=(t-1)2+1,则∵t∈[,],故φ(t)单调递增, φ(t)min=φ()= ∴m2-2m≤ 解得-≤m≤ |
举一反三
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2(x+1) (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)若f(m)<-2,求实数m的取值范围. |
设函数f(x)=ax•lnx(a>0). (Ⅰ)当a=2时,判断函数g(x)=f(x)-4(x-1)的零点的个数,并且说明理由; (Ⅱ)若对所有x≥1,都有f(x)≤x2-1,求正数a的取值范围. |
已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常数,a∈R. (1)当a=1时,求f(x)的单调区间和极值; (2)若f(x)≥3恒成立,求a的取值范围. |
已知=(asinx,cosx),=(sinx,bsinx),其中a,b,x∈R.若f(x)=•满足f()=2,且f(x)的导函数f"(x)的图象关于直线x=对称. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间[0,]上总有实数解,求实数k的取值范围. |
定义在R上的函数f(x)是奇函数,则f(0)的值为______. |
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