设函数f（x）=ax•lnx（a＞0）．（Ⅰ）当a=2时，判断函数g（x）=f（x）-4（x-1）的零点的个数，并且说明理由；（Ⅱ）若对所有x≥1，都有f（x）
题型：解答题难度：一般来源：温州模拟
设函数f（x）=ax•lnx（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2时，判断函数g（x）=f（x）-4（x-1）的零点的个数，并且说明理由；
（Ⅱ）若对所有x≥1，都有f（x）≤x2-1，求正数a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）当a=2时，g（x）=f（x）-4（x-1）=2xlnx-4x+4的定义域是（0，+∞）求导，得g′(x)=2(lnx-1)
所以，g（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数，g（x）min=g（e）=2（2-e）＜0．
又g（1）=0，根据g（x）在（0，e）上为减函数，
则g（x）在（0，e）上恰有一个零点；
又g（e2）=4＞0，则g（e）g（e2）＜0，
所以g（x）在（e，e2）上恰有一个零点，
再根据g（x）在（e，+∞）上为增函数，g（x）在（e，+∞）上恰有一个零点．
综上所述，函数g（x）=f（x）-4（x-1）的零点的个数为2．
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-（x2-1）=axlnx-x2+1（a＞0，x≥1），
求导，再令G（x）=F"（x）=a（lnx+1）-2x，
则G′(x)=-2
（ⅰ）若0＜a≤2，当x≥1时，G′(x)=-2≤0，
故G（x）在[1，+∞）上为减函数，
所以当x≥1时，G（x）≤G（1）=a-2≤0，即F"（x）≤0，
则F（x）在[1，+∞）上为减函数，
所以当x≥1时，F（x）≤F（1）=0，即f（x）≤x2-1成立；
（ⅱ）若a＞2，方程G"（x）=0的解为x=＞1，
则当1≤x≤时，G′(x)=-2≥0，
故G（x）在[1，]上为增函数，
所以当1≤x≤时，G（x）≥G（1）=a-2＞0，即F"（x）＞0，
则F（x）在[1，]上为增函数，
所以当1＜x＜时，F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞x2-1成立，此时不合题意．
综上，满足条件的正数a的取值范围是（0，2]． |
举一反三
已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围． |
已知=(asinx，cosx)，=(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R．若f(x)=•满足f()=2，且f（x）的导函数f"（x）的图象关于直线x=对称．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围． |
| 定义在R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）的值为______． |
已知函数f（x）=x3-ax3+bx+c（a，b，c∈R），若函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值
（1）求a，b
（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围． |
| 已知函数f（x）=ax3+bsinx+1且f（1）=5，则f（-1）=______． |
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