设函数f(x)=x|x-a|+b.(1)当a=1,b=1时,求所有使f(x)=x成立的x的值.(2)若f(x)为奇函数,求证:a2+b2=0;(3)设常数b<2

设函数f(x)=x|x-a|+b.(1)当a=1,b=1时,求所有使f(x)=x成立的x的值.(2)若f(x)为奇函数,求证:a2+b2=0;(3)设常数b<2

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=x|x-a|+b.
(1)当a=1,b=1时,求所有使f(x)=x成立的x的值.
(2)若f(x)为奇函数,求证:a2+b2=0;
(3)设常数b<2


2
-3
,且对任意x∈[0,1],f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)当a=1,b=1时,函数f(x)=x|x-1|+1.由x|x-1|+1=x,可解得x=1或x=-1
(2)若f(x)为奇函数,则对任意的x∈R都有f(-x)+f(x)=0恒成立,
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0,令x=0得b=0,令x=a得a=0,∴a2+b2=0
(3)由b=2


2
-3
<0,当x=0时,a取任意实数不等式恒成立.
当0<x≤1时,f(x)<0恒成立,即x+
b
x
<a<x-
b
x
恒成立.
令g(x)=x+
b
x
在0<x≤1上单调递增,∴a>gmax(x)=g(1)=1+b,.
令h(x)=x-
b
x
,则h(x)在(0,


-b
上单调递减,[


-b
,+∞)单调递增
当b<-1时,h(x)=x-
b
x
在0<x≤1上单调递减;
∴a<hmin(x)=h(1)=1-b,∴1+b<a<1-b.
而-1<b<2


2
-3
时,h(x)=x-
b
x
2


-b

∴a<hmin(x)=2


-b

∴1+b<a<2


-b
举一反三
(重点中学学生做)若不等式ax2+ax+1>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,f(x)+g(x)是奇函数,且当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,求f(x)的表达式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知y=f(x)为定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2-8x+10,则当x<0时,f(x)的解析式为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,f(2008)=1,则f(4)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x-
1
|x|
,若不等式f(t2)+mf(t)≥f(-t2)+mf(-t)-2对一切非零实数t恒成立,则实数m的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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