设函数f（x）=x|x-a|+b．（1）当a=1，b=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值．（2）若f（x）为奇函数，求证：a2+b2=0；（3）设常数b＜2

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x|x-a|+b．
（1）当a=1，b=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值．
（2）若f（x）为奇函数，求证：a²+b²=0；
（3）设常数b＜2

2

-3，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（1）当a=1，b=1时，函数f（x）=x|x-1|+1．由x|x-1|+1=x，可解得x=1或x=-1
（2）若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0，令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴a²+b²=0
（3）由b=2

2

-3＜0，当x=0时，a取任意实数不等式恒成立．
当0＜x≤1时，f（x）＜0恒成立，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立．
令g（x）=x+

b

x

在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b，．
令h（x）=x-

b

x

，则h（x）在（0，

-b

上单调递减，[

-b

，+∞）单调递增
当b＜-1时，h（x）=x-

b

x

在0＜x≤1上单调递减；
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b，∴1+b＜a＜1-b．
而-1＜b＜2

2

-3时，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

．
∴a＜h_min（x）=2

-b

．
∴1+b＜a＜2

-b

．