函数f(x)的定义域是R,若f(x+1)是奇函数,是f(x+2)偶函数.下列四个结论:①f(x+4)=f(x); ②f(x)的图象关于点(2k,0)(k∈Z
题型:单选题难度:简单来源:山东模拟
函数f(x)的定义域是R,若f(x+1)是奇函数,是f(x+2)偶函数.下列四个结论: ①f(x+4)=f(x); ②f(x)的图象关于点(2k,0)(k∈Z)对称; ③f(x+3)是奇函数; ④f(x)的图象关于直线x=2k+1(k∈Z)对称.其中正确命题的个数是( ) |
答案
①∵f(x+2)偶函数 ∴f(x+2)=f(-x+2) ∵f(x+1)奇函数 ∴f(x+1)=-f(-x+1) ∴f[(x+1)+1]=-f(-(x+1)+1)=-f(-x) 即f(x+2)=-f(-x) ∴f(-x+2)=f(x+2)=-f(-x) 即f(t+2)=-f(t) ∴f(t+4)=-f(t+2)=f(t) ∴f(x+4)=f(x),故①正确 ②由f(x+1)是奇函可得函数f(x)的图象关于(1,0)对称,而(2k,0)中没有(1,0)点,故②错误 ③考察f(x+3)+f(-x+3) ∵f(x+1)奇函数∴f(x+1)=-f(-x+1)∴f(x-2+1)=-f(-(x-2)+1)=-f(-x+3)f(-x+3)=-f(x-1)又由于已经证明f(x+4)=f(x)∴f(x+3)=f(x-1) ∴f(x+3)+f(-x+3)=f(x-1)-f(x-1)=0 即f(x+3)是奇函数,故③正确 ④由f(x+2)是偶函可知函数f(x)的图象关于x=2对称 而x=2k+1中不包含x=2,故④错误 故选B |
举一反三
已知函数y=f(x)是R上的奇函数,函数y=g(x)是R上的偶函数,且f(x)=g(x+2),当0≤x≤2时,g(x)=x-2,则g(10.5)的值为( ) |
下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( )A.f(x)=sinx | B.f(x)=-|x+1| | C.f(x)=(-a-x) | D.f(x)=ln |
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设函数f(x)是奇函数且f(x+)=-f(x),f(1)=-1,则f(2009)的值为( ) |
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.f(2)<f(5)<f(8) | B.f(5)<f(8)<f(2) | C.f(5)<f(2)<f(8) | D.f(8)<f(2)<f(5) |
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若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数且满足f(x)+g(x)=ex,其中e是自然对数的底数,则有( )A.f(e)<f(3)<g(-3) | B.g(-3)<f(3)<f(e) | C.f(3)<f(e)<g(-3) | D.g(-3)<f(e)<f(3) |
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