已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(π2)=1．给出下列结论：f(π4)=12；

题型：单选题难度：简单来源：不详

已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(

π

2

)=1．给出下列结论：f(

π

4

)=

1

2

；②f（x）为奇函数；③f（x）为周期函数；④f（x）在（0，x）内单调递减．其中正确的结论序号是（　　）

A．②③

B．②④

C．①③

D．①④

答案

令x=y=

π

4

，根据f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(

π

2

)=1．
∴f(

π

2

)+f(0)=2f(

π

4

)  •

2

2

∴f(

π

4

)=

2

2

故①不对
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy
令x=0，则
f（y）+f（-y）=f（0）cosy=0
f（-y）=-f（y）
所以f（x）是奇函数   故②对．
令x=

π

2

，由f（0）=0，f（

π

2

）=1知④不对
故选A．