f（x）定义在R上的函数，且不恒为零，对任意的x，y，均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），则f（x）是（ ）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函
题型：单选题难度：简单来源：不详
f（x）定义在R上的函数，且不恒为零，对任意的x，y，均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），则f（x）是（ ）| A．奇函数 | B．偶函数 | | C．非奇非偶函数 | D．既奇又偶函数 |
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答案
∵对任意的x，y，均有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），
令y=x=0
则有2f（0）=2f2（0）
∴f（0）=0或f（0）=1
若f（0）=0，则由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），可得当y=0时f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0
与已知f（x）定义在R上的函数，且不恒为零矛盾，故f（0）≠0
∴f（0）=1
令x=0
则有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y）
∴f（y）=f（-y）
所以f（x）为偶函数
故选B |
举一反三
下列函数中既是奇函数且又在区间（1，+∞）上单调递增的（ ）| A．y=x-2 | B．y=|x-1| | | C．y=log | D．y= |
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若定义在（-∞，1）∪（1，+∞）上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（-x），且当x∈（1，+∞）时，f(x)=|| 2x-3 | | x-1 | 若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y=f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）．已知函数f(x)= | | -2x2+4x-1，x≥0 | -| 2x | | 3 | 若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（ ）| A．f（x）为奇函数 | B．f（x）为偶函数 | | C．f（x）+1为奇函数 | D．f（x）+1为偶函数 |
| 当x∈（1，2）时，不等式x-1＜logax恒成立，则实数a的取值范围为（ ）| A．（0，1） | B．（1，2） | C．（1，2] | D．（2，+∞） |
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