(1)求导函数可得f′(x)=2x- ∵函数f(x)在[,1]上是减函数,∴对任意的x∈[,1],f′(x)≤0恒成立,所以a≥2x2,所以a≥2; 同理可得b≥1; ∵ab=2,∴a=2,b=1; ∴f(x)=x2-2lnx,g(x)=x-+2; (2)∵f(1)=1>0,g()=>0,且函数f(x)在[,1]上是减函数,函数g(x)在[,1]上是增函数. ∴x∈[,1]时,f(x)>0,g(x)>0,∴m≤, ∵()′<0,∴在[,1]上是减函数, ∴m≤=; (3)h(x)=f(x)+g(x)-x=x2-2lnx+x-+2,则h′(x)=(-1)[+],当x>0时,+>0,∴当x∈(0,1)时,h′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0 ∴h(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增 ∴x=1时,函数取得最小值h(1)=; 证明:当n≥2时,h(n)≥h(2)=7-2ln2->3,∴h(n)>3, ∴n∈N*,n≥2时f(n)+g(n)>3+>3成立. |