已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f"(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g
题型:解答题难度:一般来源:重庆
已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f"(x)是奇函数. (1)求f(x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值. |
答案
(1)由题意得f"(x)=3ax2+2x+b 因此g(x)=f(x)+f"(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b 因为函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x), 即对任意实数x,有a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b] 从而3a+1=0,b=0, 解得a=-,b=0,因此f(x)的解析表达式为f(x)=-x3+x2. (2)由(Ⅰ)知g(x)=-x3+2x, 所以g"(x)=-x2+2,令g"(x)=0 解得x1=-,x2= 则当x<-或x>时,g"(x)<0 从而g(x)在区间(-∞,-],[,+∞)上是减函数, 当-<x<时,g′(x)>0, 从而g(x)在区间[-,]上是增函数, 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1,,2时取得, 而g(1)=,g()=,g(2)=, 因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()=,最小值为g(2)=. |
举一反三
设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=______. |
已知f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是(,),且b>2a2,则f(x)•g(x)>0的解集是______. |
设定义在(-1,1)上的奇函数f (x)的导函数f′(x)=5+cosx,且f (0)=0,则不等式f (x-1)+f (1-x2)<0的 解集为______. |
已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3. (1)设a=1,求函数f(x)的极值; (2)若a>,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围. |
已知f(x)=lnx+2-x,若x>0,f(x)<a2恒成立,则实数a的取值范围是______. |
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