(1)当a=1时,对函数f(x)求导数,得f′(x)=3x2-6x-9. 令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3. 列表讨论f(x),f′(x)的变化情况:
所以,f(x)的极大值是f(-1)=6,极小值是f(3)=-26. (2)f′(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称. 若<a≤1,则f′(x)在[1,4a]上是增函数, 从而(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)=3-6a-9a2,最大值是f′(4a)=15a2. 由|f′(x)|≤12a,得-12a≤3x2-6ax-9a2≤12a,于是有(1)=3-6a-9a2≥-12a,且f′(4a)=15a2≤12a. 由f′(1)≥-12a得-≤a≤1,由f′(4a)≤12a得0≤a≤. 所以a∈(,1]∩[-,1]∩[0,],即a∈(,]. 若a>1,则∵|f′(a)|=15a2>12a.故当x∈[1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立. 所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是(,]. |