已知数列{an}是首项为a1=14,公比q=14的等比数列,设bn+2=3log14an(n∈N×),数列{cn}满足cn=an•bn.(1)求证:{bn}是等
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已知数列{an}是首项为a1=14,公比q=14的等比数列,设bn+2=3log14an(n∈N×),数列{cn}满足cn=an•bn.(1)求证:{bn}是等
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知数列{a
n
}是首项为
a
1
=
1
4
,公比
q=
1
4
的等比数列,设
b
n
+2=3
log
1
4
a
n
(n∈N×)
,数列{c
n
}满足c
n
=a
n
•b
n
.
(1)求证:{b
n
}是等差数列;
(2)求数列{c
n
}的前n项和S
n
;
(3)若
C
n
≤
1
4
m
2
+m-1
对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)由题意知,a
n
=(
1
4
)
n
.
∵
b
n
+2=3
log
1
4
a
n
,
b
1
+2=3
log
1
4
a
1
∴b
1
=1
∴b
n+1
-b
n
=3
log
1
4
a
n+1
=3
log
1
4
a
n
=3
log
1
4
a
n+1
a
n
=3
log
1
4
q=3
∴数列{b
n
}是首项为1,公差为3的等差数列.
(2)由(1)知,a
n
=(
1
4
)
n
.b
n
=3n-2
∴C
n
=(3n-2)×(
1
4
)
n
.
∴S
n
=1×
1
4
+4×(
1
4
)
2
+…+(3n-2)×(
1
4
)
n
,
于是
1
4
S
n
=1×(
1
4
)
2
+4×(
1
4
)
3
+…(3n-2)×(
1
4
)
n+1
,
两式相减得
3
4
S
n
=
1
4
+3×[(
1
4
)
2
+(
1
4
)
3
+…+(
1
4
)
n
)-(3n-2)×(
1
4
)
n+1
,
=
1
2
-(3n-2)×(
1
4
)
n+1
,
∴S
n
=
2
3
-
12n+8
3
×
(
1
4
)
n+1
(3)∵C
n+1
-C
n
=(3n+1)×(
1
4
)
n+1
-(3n-2)×(
1
4
)
n
=9(1-n)×(
1
4
)
n+1
,
∴当n=1时,C
2
=C
1
=
1
4
当n≥2时,C
n+1
<C
n
,即C
2
=C
1
>C
3
>C
4
<…>C
n
∴当n=1时,C
n
取最大值是
1
4
又
C
n
≤
1
4
m
2
+m-1
∴
1
4
m
2
+m-1
≥
1
4
即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5.
举一反三
若不等式2x>x
2
+a对于一切x∈[-2,3]恒成立,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f
1
(x)=sinx,且f
n+1
(x)=f
n
′(x),其中n∈N
*
,求f
1
(x)+f
2
(x)+…+f
100
(x)的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=ax
3
+x
2
+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f"(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线
x=
1
2
对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)>0的解集是(a
2
,b),g(x)>0的解集是(
a
2
2
,
b
2
),且b>2a
2
,则f(x)•g(x)>0的解集是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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