(1)因为f(x)=x+-alnx(x>0),所以f′(x)=1--==, ①若a=0,f(x)=x,f(x)在(0,+∞)上单调递减. ②若a>0,当x∈(0,2a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2a)上单调递减;当x∈(2a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2a,+∞)上单调递增. ③若a<0,当x∈(0,-a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,-a)上单调递减;当x∈(-a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(-a,+∞)上单调递增. 综上:①当a=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当a>0时,f(x)在(0,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增. ③当a<0时,f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增. (2)当a=1时,f(x)=x+-lnx(x>0). 由(1)知,若a=1,当x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增, 所以f(x)min=f(2)=3-ln2. 因为对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立, 所以问题等价于对于任意x∈[1,e],f(x)min≥g(x)恒成立, 即3-ln2≥x2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1,e]恒成立, 即2b≥x+对于任意x∈[1,e]恒成立, 因为函数y=x+的导数y′=1-≥0在[1,e]上恒成立, 所以函数y=x+在[1,e]上单调递增,所以(x+)max=e+, 所以2b≥e+,所以b≥+, 故实数b的取值范围为[+,+∞). |