已知f（x）=loga1+x1-x（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求使f（x）＞0的x取值范围．

答案

（1）由对数函数的定义知

1+x

1-x

＞0．如果

1+x＞0 1-x＞0

，则-1＜x＜1；
如果

1+x＜0 1-x＜0

，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（-1，1）
（2）∵f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（3）（ⅰ）对a＞1，log_a

1+x

1-x

＞0等价于

1+x

1-x

＞1，①
而从（1）知1-x＞0，故①等价于1+x＞1-x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log_a

1+x

1-x

＞0等价于
0＜

1+x

1-x

＜1．②
而从（1）知1-x＞0，故②等价于-1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（-1，0）时有f（x）＞0．