设函数f(x)定义域为R,对一切x、y∈R,均满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,且f(0)=3,f(π2)=4,(1)求f(π)的值;(2)
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设函数f(x)定义域为R,对一切x、y∈R,均满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,且f(0)=3,f(π2)=4,(1)求f(π)的值;(2)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)定义域为R,对一切x、y∈R,均满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy,且f(0)=3,
f(
π
2
)=4
,
(1)求f(π)的值;
(2)求证:f(x)为周期函数,并求出其一个周期;
(3)求函数f(x)解析式.
答案
(1)令x=y=
π
2
,则由原式得:f(π)+f(0)=2f(
π
2
)cos
π
2
=0
∴f(π)=-f(0)=-3
证明:(2)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy式中用
π
2
替换y,得f(x+
π
2
(4))+f(x-
π
2
(5))=2f(x)cos
π
2
(6)=0①
∴f(x-
π
2
)=-f(x+
π
2
)=-f[(x-
π
2
)+π]
由x-
π
2
的任意性知,对任意x∈R,均有:f(x)=-f(x+π)②
∴f(x+2π)=f[(x+π)+π]=-f(x+π)=-[-f(x)]=f(x)
∴f(x)为周期函数,且2π为其一个周期.
(3)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy式中用
π
2
替换x,用x替换y,得:f(
π
2
+x)+f(
π
2
-x)=2f(
π
2
)cosx=8cosx
由②知:f(
π
2
-x)=-f[(
π
2
-x)-π]=-f[-(
π
2
+x)]
∴f(
π
2
+x)-f[-(
π
2
+x)]=8cosx
用x替换
π
2
+x,得:f(x)-f(-x)=8cos(x-
π
2
)=8sinx③
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy式中取x=0,用x替换y,得:f(x)+f(-x)=2f(0)cosx=6cosx④
从而可得,f(x)=4sinx+3cosx
举一反三
下列函数为偶函数的是( )
A.
f(x)=
x
2
+1
x
B.
f(x)=ln
1+x
1-x
C.
f(x)=
e
x
-
e
-x
e
x
+
e
-x
D.f(x)=|x|
题型:单选题
难度:简单
|
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函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=x(x-1).则当x>0时f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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判断函数
f(x)=lg(
x
2
+1
-x)
的奇偶性、单调性.
题型:解答题
难度:一般
|
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定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式:
①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);
②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);
④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),
其中成立的是( )
A.①与④
B.②与③
C.①与③
D.②与④
题型:单选题
难度:一般
|
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关于x的不等式x
2
+9+|x
2
-3x|≥kx在x∈[1,5]上恒成立,则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,6]
B.(-∞,6)
C.(0,6]
D.[6,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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