已知f(x)是定义在R上连续的偶函数,f(x)的图象向右平移一个单位长度又得到一个奇函数,且f(2)=-1.则f(8)+f(9)+f(10)+…+f(2012)
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知f(x)是定义在R上连续的偶函数,f(x)的图象向右平移一个单位长度又得到一个奇函数,且f(2)=-1.则f(8)+f(9)+f(10)+…+f(2012)=______. |
答案
∵f(x)是R上的偶函数, ∴f(x)=f(-x) 用x+1换x,即f(x+1)=f(-x-1)① ∵将f(x)的图象向右平移一个单位后,得到一个奇函数的图象, ∴函数f(x)的图象的对称中心(-1,0),有f(-1)=0,且f(-1-x)=-f(-1+x) ② ∴由①②得f(x+1)=-f(-1+x),可得f(x+2)=-f(x),得到f(x+4)=f(x), ∴函数f(x)存在周期T=4, ∵f(2)=-1,f(-1)=0, 利用条件可以推得:f(-1)=f(1)=0,f(2)=-1=-f(0),f(3)=f(4-1)=0, f(-3)=f(3)=0,f(4)=f(0)=1, 所以在一个周期中f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, ∴f(8)+f(9)+f(10)+…+f(2012)=f(8)=f(4)=1. 故答案为:1. |
举一反三
已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lgx.设a=f(),b=f(),c=f(),则( )A.a<b<c | B.b<a<c | C.c<b<a | D.c<a<b |
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偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,若f(-1)<f(x2),则实数x的取值范围是______. |
已知定义在R上的函数y=f(x)是偶函数,且x≥0时,f(x)=ln(x2-2x+2),当x<0时,f(x)的解析式为 ______. |
若函数f(x)=2x-2-x•k为偶函数,则实数k=______. |
奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,若f(-1)=0,则不等式f(x)<0的解集是( )A.(-∞,-1)∪(0,1) | B.(-∞,-1)(∪1,+∞) | C.(-1,0)∪(0,1) | D.(-1,0)∪(1,+∞) |
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