已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0),且g(x)=f(x)-2是奇函数.(Ⅰ)求a,c的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
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已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0),且g(x)=f(x)-2是奇函数. (Ⅰ)求a,c的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间. |
答案
(Ⅰ)因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数, 所以,对任意的x∈R,都有g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2. 又f(x)=x3+ax2+3bx+c 所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2. 所以 解得a=0,c=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=x3+3bx+2. 所以f"(x)=3x2+3b(b≠0). 当b<0时,由f"(x)=0得x=±.x变化时,f"(x)的变化情况如下: x∈(-∞,-),时f′(x)>0 x∈(-,),时f′(x)<0 x∈(,+∞),时f′(x)>0 所以,当b<0时,函数f(x)在(-∞,-)上单调递增, 在(-,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增. 当b>0时,f"(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. |
举一反三
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______. |
已知偶函数f(x)不恒为零,对任意x∈R,均有:x•f(x+2)=(x+2)•f(x),那么f[f(5)]的值是______. |
已知f(x)是定义在R上连续的偶函数,f(x)的图象向右平移一个单位长度又得到一个奇函数,且f(2)=-1.则f(8)+f(9)+f(10)+…+f(2012)=______. |
已知f(x)是周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=lgx.设a=f(),b=f(),c=f(),则( )A.a<b<c | B.b<a<c | C.c<b<a | D.c<a<b |
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偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,若f(-1)<f(x2),则实数x的取值范围是______. |
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