对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)(1)当a=1

对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)(1)当a=1

题型:解答题难度:一般来源:不详
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)
(1)当a=1,b=-2求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,令g(x)=
1
x+2
+loga 
1+x
1-x
,解关于x的不等式g[x(x-
1
2
)]<
1
2
答案
(1)当a=1,b=-2时,
ax2+(b+1)x+(b-1)=x可化为x2-x-3=x
∴x2-2x-3=0
∴x=3或-1
∴所求的不动点为-1或3.
(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异不动点,即ax2+bx+(b-1)=0有两个不等实根
∴△1>0,即b2-4ab+4a>0对任意b∈R恒成立
∴△2=16a2-16a<0
∴0<a<1
(3)g′(x)=-
1
(x+2)2
+
2
(1+x)(1-x)lna

1+x
1-x
>0

∴-1<x<1
∴(1+x)(1-x)>0
∵0<a<1
∴lna<0
∴g′(x)<0
∴g(x)在定义域(-1,1)上递减,
g(0)=
1
2

g[x(x-
1
2
)]<
1
2
可化为g[x(x-
1
2
)]<g(0)






-1<x(x-
1
2
)<1
x(x-
1
2
)>0

{x|
1-


17
4
<x<0
1
2
<x<
1+


17
4
}
举一反三
下列函数具有奇偶性的是(  )
①y=xn,n∈Z②y=


x
y=


1-x2
x
y=
cos2x
1-sinx
-1
A.②③B.①④C.①③④D.①③
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知x2-20x+64≤0的解集为A,当x∈A时f(x)=log2
x
8
•lo
g 2
x
4
的值域为B.
(1)求集合B;
(2)当x∈B时不等式1+2x+4xa≥0恒成立,求a的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈[-e,0)时,f(x)=ax+ln(-x),则当x∈(0,e]时,f(x)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R且a≠0)
(1)当x=1时有最大值1,若x∈[m,n],(0<m<n)时,函数f(x)的值域为[
1
n
1
m
]
,证明:
f(m)
f(n)
=
n
m

(2)若b=4,c=-2时,对于给定正实数a有一个最小负数g(a),使得x∈[g(a),0]时,|f(x)|≤4恒成立,问a为何值时,g(a)最小,并求出这个最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)对于x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x<0时,f(x)<0,f(-1)=-2.
(1)求证:函数f(x)是奇函数;
(2)试问f(x)在x∈[-4,4]上是否有最值?若有,求出最值;若无,说明理由.
(3)解关于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)>
1
2
f(b2x)-f(b)
(b≤0).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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