对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)(1)当a=1
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对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0)(1)当a=1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
对于函数f(x),若存在x
0
∈R,使f(x
0
)=x
0
成立,则称x
0
为函数f(x)的不动点,已知f(x)=ax
2
+(b+1)x+(b-1)(a≠0)
(1)当a=1,b=-2求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,令
g(x)=
1
x+2
+
lo
g
a
1+x
1-x
,解关于x的不等式
g[x(x-
1
2
)]<
1
2
.
答案
(1)当a=1,b=-2时,
ax
2
+(b+1)x+(b-1)=x可化为x
2
-x-3=x
∴x
2
-2x-3=0
∴x=3或-1
∴所求的不动点为-1或3.
(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异不动点,即ax
2
+bx+(b-1)=0有两个不等实根
∴△
1
>0,即b
2
-4ab+4a>0对任意b∈R恒成立
∴△
2
=16a
2
-16a<0
∴0<a<1
(3)
g′(x)=-
1
(x+2)
2
+
2
(1+x)(1-x)lna
∵
1+x
1-x
>0
,
∴-1<x<1
∴(1+x)(1-x)>0
∵0<a<1
∴lna<0
∴g′(x)<0
∴g(x)在定义域(-1,1)上递减,
∵
g(0)=
1
2
∴
g[x(x-
1
2
)]<
1
2
可化为
g[x(x-
1
2
)]<g(0)
∴
-1<x(x-
1
2
)<1
x(x-
1
2
)>0
∴
{x|
1-
17
4
<x<0
或
1
2
<x<
1+
17
4
}
举一反三
下列函数具有奇偶性的是( )
①y=x
n
,n∈Z②
y=
x
③
y=
1-
x
2
x
④
y=
cos
2
x
1-sinx
-1
.
A.②③
B.①④
C.①③④
D.①③
题型:单选题
难度:简单
|
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已知x
2
-20x+64≤0的解集为A,当
x∈A时f(x)=lo
g
2
x
8
•lo
g
2
x
4
的值域为B.
(1)求集合B;
(2)当x∈B时不等式1+2
x
+4
x
a≥0恒成立,求a的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈[-e,0)时,f(x)=ax+ln(-x),则当x∈(0,e]时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=ax
2
+bx+c,(a,b,c∈R且a≠0)
(1)当x=1时有最大值1,若x∈[m,n],(0<m<n)时,函数f(x)的值域为
[
1
n
,
1
m
]
,证明:
f(m)
f(n)
=
n
m
(2)若b=4,c=-2时,对于给定正实数a有一个最小负数g(a),使得x∈[g(a),0]时,|f(x)|≤4恒成立,问a为何值时,g(a)最小,并求出这个最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)对于x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x<0时,f(x)<0,f(-1)=-2.
(1)求证:函数f(x)是奇函数;
(2)试问f(x)在x∈[-4,4]上是否有最值?若有,求出最值;若无,说明理由.
(3)解关于x的不等式
1
2
f(b
x
2
)-f(x)>
1
2
f(
b
2
x)-f(b)
(b≤0).
题型:解答题
难度:一般
|
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