(Ⅰ)当a=-时,f(x)=-x2+ln(x+1)(x>-1), f′(x)=-x+=-(x>-1), 由f"(x)>0,解得-1<x<1,由f"(x)<0,解得x>1. 故函数f(x)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(1,+∞). (Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,即ax2+ln(x+1)-x≤0恒成立, 设g(x)=ax2+ln(x+1)-x(x≥0),只需g(x)max≤0即可. 由g′(x)=2ax+-1=, (ⅰ)当a=0时,g′(x)=, 当x>0时,g"(x)<0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减, 故g(x)≤g(0)=0成立. (ⅱ)当a>0时,由g′(x)==0,因x∈[0,+∞),所以x=-1, ①若-1<0,即a>时,在区间(0,+∞)上,g"(x)>0, 则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, g(x)在[0,+∞)上无最大值,此时不满足条件; ②若-1≥0,即0<a≤时,函数g(x)在(0,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增, 同样g(x)在[0,+∞)上无最大值,不满足条件. (ⅲ)当a<0时,g′(x)=, ∵x∈[0,+∞),∴2ax+(2a-1)<0, ∴g"(x)≤0,故函数g(x)在[0,+∞)上单调递减, 故g(x)≤g(0)=0成立. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0]. (Ⅲ)据(Ⅱ)知当a=0时,ln(x+1)≤x在[0,+∞)上恒成立, 又=2(-), ∵ln{(1+)(1+)(1+)•…•[1+]} =ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)+…+ln[1+]<+++…+ =2[(-)+(-)+(-)+…+(-)] =2[(-)]<1, ∴(1+)(1+)(1+)•…•[1+]<e. |