已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调递减函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论F(x)=af(x)-bx

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论F(x)=a

f(x)

-

b

xf(x)

的奇偶性．

答案

（1）f(x)=xm2-2m-3=xm(m-2)-3，由题意知m（m-2）为奇数又m∈z
且f（x）在（0，+∞）上递减，
∴m=1，f（x）=x^-4
（2）F(x)=a

x-4

-

b

x•x-4

=a•x-2-b•x3(x≠0)
∵y=x^-2是偶函数，y=x³是奇函数
①a≠0且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；
②a=0且b≠0时，F（x）为奇函数；
③a≠0且b=0时，F（x）为偶函数；
④a=b=0时，F（x）为奇且偶函数