(1)当x∈[-,]时, 由定义知:x与0距离最近,f(x)=|x|,x∈[-,] 当x∈[k-,k+](k∈z)时, 由定义知:k为与x最近的一个整数,故 f(x)=|x-k|,x∈[k-,k+](k∈z); (2)f()=,f(-)= 判断f(x)是偶函数. 对任何x∈R,函数f(x)都存在,且存在k∈Z,满足 k-≤x≤k+,f(x)=|x-k|, 由k-≤x≤k+,可以得出-k-≤-x≤-k+, 即-x∈[-k-,-k+], 由(Ⅰ)的结论,f(-x)=|-x-(-k)|=|k-x|=|x-k|=f(x), 即f(x)是偶函数. (3)f(x)-loga=0,即|x-k|-logax=0, ①当x>1时,|x-k|≥0>logax, ∴|x-k|-logax=0没有大于1的实根; ②容易验证x=1为方程|x-k|-logax=0的实根; ③当<x<1时,方程|x-k|-logax=0变为1-x-logax=0 设H(x)=logax-(1-x)(<x<1) 则H′(x)=+1<+1=-+1<0, 所以当<x<1时,H(x)为减函数,H(x)>H(1)=0, 所以方程没有<x<1的实根; ④当0<x≤时,方程|x-k|-logax=0变为x-logax=0 设G(x)=logax-x(0<x≤),显然G(x)为减函数, ∴G(x)≥G()=H()>0, 所以方程没有0<x≤的实根. 综上可知,当e-<a<1时,方程f(x)-loga=0有且仅有一个实根,实根为1. |