奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=-f(x)成立,且,则f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=( )A.0B.1C.2
题型:单选题难度:一般来源:淄博二模
奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=-f(x)成立,且,则f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=( ) |
答案
由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x). 所以函数的周期为4. 因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,所以f(2)=-f(0)=0. 所以f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011) =f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =f(1)+f(-1) =f(1)-f(1)=0. 故选A. |
举一反三
若函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(2)=0,则<0的解集为( )A.(-2,0)∪(0,2) | B.(-∞,-2)∪(0,2) | C.(-∞,-2)∪(2,+∞) | D.(-2,0)∪(2,+∞) |
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已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈[-e,0)时,f(x)=ax-ln(-x),(a<0,a∈R) (I)求f(x)的解析式; (Ⅱ)是否存在实数a,使得当x∈(0,e]时f(x)的最大值是-3,如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由. |
已知函数f(x)=ax2+bx+c(2a-3≤x≤1)是偶函数,则a∈______,b∈______,c∈______. |
已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2),则f(2009)•f(2010)•f(2011)=______. |
设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,当x>0时,有f(x)>xf′(x)恒成立,则不等式xf(x)>0的解集为( )A.(-∞,0)∪(0,1) | B.(-∞,-1)∪(0,1) | C.(-1,0)∪(1,+∞) | D.(-1,0)∪(0,1) |
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