(Ⅰ)由题设,g(x)=x2-alnx, 则g′(x)=2x-.(1分) 由已知,g"(1)=0, 即2-a=0⇒a=2.(2分) 于是h(x)=x-2, 则h′(x)=1-.(3分) 由h′(x)=1->0⇒x>1, 所以h(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数.(4分) 证明:(Ⅱ)当1<x<e2时,0<lnx<2, 即0<f(x)<2.(5分) 欲证x<, 只需证x[2-f(x)]<2+f(x), 即证f(x)>.(6分) 设φ(x)=f(x)-=lnx-, 则φ′(x)=-=. 当1<x<e2时,φ"(x)>0, 所以φ(x)在区间(1,e2)上为增函数.(7分) 从而当1<x<e2时,φ(x)>φ(1)=0, 即lnx>, 故x<.(8分) (Ⅲ)由题设,h1(x)=x-2+6. 令g(x)-h1(x)=0, 则x2-2lnx-(x-2+6)=0, 即2-2lnx=-x2+x+6.(9分) 设h2(x)=2-2lnx, h3(x)=-x2+x+6(x>0), 则h2′(x)=-=, 由-2>0,得x>4. 所以h2(x)在(4,+∞)上是增函数, 在(0,4)上是减函数.(10分) 又h3(x)在(0,)上是增函数, 在(,+∞)上是减函数. 因为当x→0时,h2(x)→+∞,h3(x)→6. 又h2(1)=2,h3(1)=6,h2(4)=4-2ln4>0,h3(4)=-6, 则函数h2(x)与h3(x)的大致图象如下:(12分)
由图可知,当x>0时,两个函数图象有2个交点, 故函数y=g(x)-h1(x)有2个零点.(13分) |