已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且f(1)=1,对x1、x2∈[-1,1],且x1+x2≠0时,有f(x1)+f(x2)x1+x2>0,若f(x)≤m
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已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且f(1)=1,对x1、x2∈[-1,1],且x1+x2≠0时,有f(x1)+f(x2)x1+x2>0,若f(x)≤m
题型:填空题
难度:一般
来源:宜宾一模
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且f(1)=1,对x
1
、x
2
∈[-1,1],且x
1
+x
2
≠0时,有
f(
x
1
)+f(
x
2
)
x
1
+
x
2
>0
,若f(x)≤m
2
-2am+1对所有x∈[-1,1]、a∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围是______.
答案
任取x
1
、x
2
∈[-1,1],且x
1
<x
2
,则f(x
1
)-f(x
2
)=f(x
1
)+f(-x
2
)
∵
f(
x
1
)+f(
x
2
)
x
1
+
x
2
>0
,
即
f(
x
1
)+f(
-x
2
)
x
1
-
x
2
>0
,∴
f(
x
1
)-f(
x
2
)
x
1
-
x
2
>0
∵x
1
-x
2
<0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0.
∴f(x)是[-1,1]上的增函数,
要使f(x)≤m
2
+2am+1对所有的x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,
只须f(x)
max
≤m
2
+2am+1,即1≤m
2
+2am+1对任意的a∈[-1,1]恒成立,
亦即m
2
+2am≥0对任意的a∈[-1,1]恒成立.令g(a)=2ma+m
2
,
只须
g(-1)=-2m+
m
2
≥0
g(1)=2m+
m
2
≥0
,解得m≤-2或m≥2或m=0,
故答案为m≤-2或m≥2或m=0.
举一反三
当x∈[-1,1]时不等式ax+1>0恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2
x
,则f(-2)=( )
A.
1
4
B.-4
C.-
1
4
D.4
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
设函数
T(x)=
2x, 0≤x<
1
2
2(1-x),
1
2
≤x≤1
(1)求函数y=T(x
2
)和y=(T(x))
2
的解析式;
(2)是否存在实数a,使得T(x)+a
2
=T(x+a)恒成立,若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由;
(3)定义T
n+1
(x)=T
n
(T(x)),且T
1
(x)=T(x),(n∈N
*
)
①当
x∈[ 0 ,
1
16
]
时,求y=T
4
(x)的解析式;
已知下面正确的命题:当
x∈[
i-1
16
,
i+1
16
]
时(i∈N
*
,1≤i≤15),都有
T
4
(x)=
T
4
(
i
8
-x)
恒成立.
②若方程T
4
(x)=kx恰有15个不同的实数根,确定k的取值;并求这15个不同的实数根的和.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
若f(x)在定义域[a,b]上有定义,则在该区间上( )
A.一定连续
B.一定不连续
C.可能连续也可能不连续
D.以上均不正确
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
在平面直角坐标系xOy中,点A
n
满足
O
A
1
=(0,1)
,且
A
n
A
n+1
=(1,1)
;点B
n
满足
O
B
1
=(3,0)
,且
B
n
B
n+1
=(3•(
2
3
)
n
,0)
,其中n∈N
*
.
(1)求
O
A
2
的坐标,并证明点A
n
在直线y=x+1上;
(2)记四边形A
n
B
n
B
n+1
A
n+1
的面积为a
n
,求a
n
的表达式;
(3)对于(2)中的a
n
,是否存在最小的正整数P,使得对任意n∈N
*
都有a
n
<P成立?若存在,求P的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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