(1)函数y=T(x2)= | 2x2x∈ (-, ) | 2(1-x2)x∈[-1 , -]∪[ , 1] |
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函数y=(T(x))2= | 4x2 | x∈[0 , ) | 4(1-x)2 | x∈[ , 1] |
| | …4分 (2)T(x)+a2= | 2x+a2, 0≤x< | 2(1-x)+a2, ≤x≤1 |
| | , T(x+a)= | 2x+2a,0≤x+a< | 2(1-x-a), ≤x+a≤1 |
| | …6分 则当且仅当a2=2a且a2=-2a时,即a=0. 综上可知当a=0时,有T(x)+a2=T(x+a)=T(x)恒成立.…8分 (3)①当x∈[ 0 , ]时,对于任意的正整数j∈N*,1≤j≤3, 都有0≤2jx≤,故有 y=T4(x)=T3(2x)=T2(22x)=T1(23x)=16x.…13分 ②由①可知当x∈[ 0 , ]时,有T4(x)=16x,根据命题的结论可得, 当x∈[ , ] ⊆[ , ]时,-x∈[ , ] ⊆[ , ], 故有T4(x)=T4(-x)=16(-x)=-16x+2, 因此同理归纳得到,当x∈[ , ](i∈N,0≤i≤15)时,T4(x)=(-1)i(24x-i-)+= | 24x-i, i 是偶数 | -24x+i+1,i 是奇数 |
| | …15分 x∈[ , ]时,解方程T4(x)=kx得,x= 要使方程T4(x)=kx在x∈[0,1]上恰有15个不同的实数根, 则必须(2•14+1)-(-1)14 | 32-(-1)142k | =(2•15+1)-(-1)15 | 32-(-1)152k | 解得k= 方程的根xn=(n∈N*,1≤n≤15)…17分 这15个不同的实数根的和为:S=x1+x2+…+x14+x15=+=.…18分. |