(Ⅰ)求导数可得:f"(x)=x+2e,g′(x)=, 设f(x)=x2+2ex与g(x)=3e2lnx+b的公共点为(x0,y0),则有
| x02+2ex0=3e2lnx0+b | x0+2e= | x0>0 |
| | …(3分) 解得b=-.…(5分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知g(x)=3e2lnx-. 所以2[f(x)-2ex]+[2g(x)+e2]=x2+2lnx. ∴要证x∈(0,1]时,x2+2lnx≤4x-3恒成立, 即证x∈(0,1]时,x2-4x+3+2lnx≤0恒成立.…(8分) 设h(x)=x2-4x+3+2lnx(0<x≤1),则h′(x)=. ∵x∈(0,1],∴h′(x)≥0(仅当x=1时取等号). ∴h(x)=x2-4x+3+2lnx在x∈(0,1]上为增函数.…(11分) ∴h(x)max=h(1)=0. ∴x∈(0,1]时,2[f(x)-2ex]+[2g(x)+e2]≤4x-3恒成立.…(12分) |