已知函数f(x)=ax-a+1,(a>0且a≠1)恒过定点(3,2),(1)求实数a;(2)在(1)的条件下,将函数f(x)的图象向下平移1个单位,再向左平移a
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax-a+1,(a>0且a≠1)恒过定点(3,2), (1)求实数a; (2)在(1)的条件下,将函数f(x)的图象向下平移1个单位,再向左平移a个单位后得到函数g(x),设函数g(x)的反函数为h(x),求h(x)的解析式; (3)对于定义在[1,9]的函数y=h(x),若在其定义域内,不等式[h(x)+2]2≤h(x2)+m+2 恒成立,求m的取值范围. |
答案
(1)由f(x)=ax-a+1,知令x=a,则f(a)=2, 所以f(x)恒过定点(a,2), 由题设得a=3; (2)由(1)知f(x)=3x-3+1, 将f(x)的图象向下平移1个单位,得到m(x)=3x-3, 再向左平移3个单位,得到g(x)=3x, 所以函数g(x)的反函数h(x)=log3x. (3)[h(x)+2]2≤h(x2)+m+2,即[log3x+2]2≤log3x2+m+2, 所以(log3x)2+2log3x+2-m≤0, 令t=log3x,则由x∈[1,9]得t∈[0,2], 则不等式化为t2+2t+2-m≤0, 不等式[h(x)+2]2≤h(x2)+m+2 恒成立,等价于t2+2t+2-m≤0恒成立, 因为t2+2t+2-m=(t+1)2+1-m在[0,2]上单调递增, 所以t2+2t+2-m≤22+2×2+2-m=10-m, 所以10-m≤0,解得m≥10. 故实数m的取值范围为:m≥10. |
举一反三
已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(),且当x<0时,f(x)>0; (1)验证函数f(x)=ln是否满足这些条件; (2)判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性,并加以证明; (3)若f(-)=1,试解方程f(x)=-. |
若f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=x,则当x<0时,f(x)=______. |
已知f(x)是定义在R上的奇函数,x>0时,f(x)=x2-2x+3,则f(x)=______. |
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=()x (1)画出函数f(x)的图象; (2)根据图象写出f(x)的单调区间,并写出函数的值域. |
已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,当x>0时,f(x)=x2-3. (1)求f(x)的解析式; (2)在所给坐标系中,作出f(x)的图象. |
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