已知f(x)为偶函数,且x>0时,f(x)=1a-1x(a>0).(1)判断函数f(x)在(0,∞)上的单调性,并证明;(2)若f(x)在[12,2]上的值域是
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已知f(x)为偶函数,且x>0时,f(x)=1a-1x(a>0).(1)判断函数f(x)在(0,∞)上的单调性,并证明;(2)若f(x)在[12,2]上的值域是
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)为偶函数,且x>0时,
f(x)=
1
a
-
1
x
(a>0)
.
(1)判断函数f(x)在(0,∞)上的单调性,并证明;
(2)若f(x)在
[
1
2
,2]
上的值域是
[
1
2
,2]
,求a的值;
(3)求x∈(-∞,0)时函数f(x)的解析式.
答案
(本小题满分14分)
(1)函数f(x)在(0,+∞)上是增函数..…(1分)
证明如下:
任取0<x
1
<x
2
f(x
1
)-f(x
2
)=
1
a
-
1
x
1
-
1
a
+
1
x
2
=
1
x
2
-
1
x
1
=
x
1
-
x
2
x
1
x
2
.…(3分)
∵0<x
1
<x
2
∴x
1
-x
2
<0,x
1
x
2
>0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数..…(6分)
(2)由(1)知函数f(x)在区间[
1
2
,2]上是增函数,值域为[
1
2
,2
],.…(7分)
∴f(
1
2
)=
1
2
,f(2)=2,.…(9分)
即
1
a
-2=
1
2
1
a
-
1
2
=2
,解得a=
2
5
..…(11分)
(3)设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),
∴f(-x)=
1
a
-
1
-x
=
1
a
+
1
x
.…(12分)
又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=
1
a
-
1
-x
=
1
a
+
1
x
..…(14分)
举一反三
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在[0,+∞)是增加的,求满足f(3x+1)>f(-5)的x的取值范围.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
关于函数f(x)=lg
x
2
+1
|x|
(x≠0,x∈R),有下列命题:
①函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
②当x>0时,f(x)是增函数,当x<0时,f(x)是减函数;
③函数f(x)的最小值是lg2;
④当-1<x<0或x>1时,f(x)为增函数;
⑤f(x)无最大值,也无最小值.
其中正确命题的序号是 ______
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=
2
x
-2
-x
2
x
+2
-x
,判断函数的奇偶性.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设函数f(x)=|x|x+bx+c,给出下列4个命题:
①b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根;
②c=0时,y=f(x)是奇函数;
③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称;
④函数f(x)至多有2个零点.
上述命题中的所有正确命题的序号是①②③①②③.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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