定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证f(x)为奇函数;(2)若f(k·3x)+

定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证f(x)为奇函数;(2)若f(k·3x)+

题型:解答题难度:一般来源:月考题
定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+
f(y).
(1)求证f(x)为奇函数;
(2)若f(k·3x)+f(3x﹣9x﹣2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围
答案
解:(1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),
① 令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
令y=﹣x,代入①式,得f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x),
又f(0)=0,则有 0=f(x)+f(﹣x).
即f(﹣x)=﹣f(x)对任意x∈R成立,
所以f(x)是奇函数.
(2)解:f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),
又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,
又由(1)f(x)是奇函数.
f(k·3x)<﹣f(3x﹣9x﹣2)=f(﹣3x+9x+2),
k·3x<﹣3x+9x+2,令t=3x>0,
分离系数得: ,
问题等价于 ,对任意t>0恒成立.
∵ 
 .
举一反三
已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=(    )。
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)为偶函数,f(2+x)=f(2﹣x),当﹣2≤x≤0时,f(x)=2x,若n∈N*,an=f(n),则a2011= [     ]
A.1
B.
C.
D.
题型:单选题难度:一般| 查看答案
,则使f(x)=xα是奇函数且在(0,+∞)上是单调递减的a的值的个数是  [     ]
A.4
B.3
C.2
D.1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),且f(x)在[﹣1,0]上是增函数,下面五个关于f(x)的命题中:
①f(x)是周期函数;
②f(x)图象关于x=1对称;
③f(x)在[0,1]上是增函数;
④f(x)在[1,2]上为减函数;
⑤f(2)=f(0),
正确命题的个数是     [     ]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:单选题难度:一般| 查看答案
定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),且f(x)在[﹣1,0]上是增函数,下面五个关于f(x)的命题中:
①f(x)是周期函数;
②f(x)图象关于x=1对称;
③f(x)在[0,1]上是增函数;
④f(x)在[1,2]上为减函数;
⑤f(2)=f(0),
正确命题的个数是[     ]
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
题型:单选题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.